The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

fst(0, Z) → nil
fst(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, n__fst(activate(X), activate(Z)))
from(X) → cons(X, n__from(n__s(X)))
add(0, X) → X
add(s(X), Y) → s(n__add(activate(X), Y))
len(nil) → 0
len(cons(X, Z)) → s(n__len(activate(Z)))
fst(X1, X2) → n__fst(X1, X2)
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
add(X1, X2) → n__add(X1, X2)
len(X) → n__len(X)
activate(n__fst(X1, X2)) → fst(activate(X1), activate(X2))
activate(n__from(X)) → from(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__add(X1, X2)) → add(activate(X1), activate(X2))
activate(n__len(X)) → len(activate(X))
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2ⁿ):
The rewrite sequence
activate(n__fst(n__from(X7745_3), X2)) →⁺ fst(cons(activate(X7745_3), n__from(n__s(activate(X7745_3)))), activate(X2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0].
The pumping substitution is [X7745_3 / n__fst(n__from(X7745_3), X2)].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
activate(n__fst(n__from(X7745_3), X2)) →⁺ fst(cons(activate(X7745_3), n__from(n__s(activate(X7745_3)))), activate(X2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,1,0,0].
The pumping substitution is [X7745_3 / n__fst(n__from(X7745_3), X2)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(2^n, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

fst(0', Z) → nil
fst(s(X), cons(Y, Z)) → cons(Y, n__fst(activate(X), activate(Z)))
from(X) → cons(X, n__from(n__s(X)))
add(0', X) → X
add(s(X), Y) → s(n__add(activate(X), Y))
len(nil) → 0'
len(cons(X, Z)) → s(n__len(activate(Z)))
fst(X1, X2) → n__fst(X1, X2)
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
add(X1, X2) → n__add(X1, X2)
len(X) → n__len(X)
activate(n__fst(X1, X2)) → fst(activate(X1), activate(X2))
activate(n__from(X)) → from(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__add(X1, X2)) → add(activate(X1), activate(X2))
activate(n__len(X)) → len(activate(X))
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) SlicingProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Sliced the following arguments:
cons/0

(6) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

fst(0', Z) → nil
fst(s(X), cons(Z)) → cons(n__fst(activate(X), activate(Z)))
from(X) → cons(n__from(n__s(X)))
add(0', X) → X
add(s(X), Y) → s(n__add(activate(X), Y))
len(nil) → 0'
len(cons(Z)) → s(n__len(activate(Z)))
fst(X1, X2) → n__fst(X1, X2)
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
add(X1, X2) → n__add(X1, X2)
len(X) → n__len(X)
activate(n__fst(X1, X2)) → fst(activate(X1), activate(X2))
activate(n__from(X)) → from(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__add(X1, X2)) → add(activate(X1), activate(X2))
activate(n__len(X)) → len(activate(X))
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
fst(0', Z) → nil
fst(s(X), cons(Z)) → cons(n__fst(activate(X), activate(Z)))
from(X) → cons(n__from(n__s(X)))
add(0', X) → X
add(s(X), Y) → s(n__add(activate(X), Y))
len(nil) → 0'
len(cons(Z)) → s(n__len(activate(Z)))
fst(X1, X2) → n__fst(X1, X2)
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
add(X1, X2) → n__add(X1, X2)
len(X) → n__len(X)
activate(n__fst(X1, X2)) → fst(activate(X1), activate(X2))
activate(n__from(X)) → from(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__add(X1, X2)) → add(activate(X1), activate(X2))
activate(n__len(X)) → len(activate(X))
activate(X) → X

Types:
fst :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
0' :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
nil :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
s :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
cons :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__fst :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
activate :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
from :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__from :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__s :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
add :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__add :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
len :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__len :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
hole_0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len1_0 :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
gen_0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len2_0 :: Nat → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
activate, len

They will be analysed ascendingly in the following order:
activate = len

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
fst(0', Z) → nil
fst(s(X), cons(Z)) → cons(n__fst(activate(X), activate(Z)))
from(X) → cons(n__from(n__s(X)))
add(0', X) → X
add(s(X), Y) → s(n__add(activate(X), Y))
len(nil) → 0'
len(cons(Z)) → s(n__len(activate(Z)))
fst(X1, X2) → n__fst(X1, X2)
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
add(X1, X2) → n__add(X1, X2)
len(X) → n__len(X)
activate(n__fst(X1, X2)) → fst(activate(X1), activate(X2))
activate(n__from(X)) → from(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__add(X1, X2)) → add(activate(X1), activate(X2))
activate(n__len(X)) → len(activate(X))
activate(X) → X

Types:
fst :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
0' :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
nil :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
s :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
cons :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__fst :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
activate :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
from :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__from :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__s :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
add :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__add :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
len :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__len :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
hole_0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len1_0 :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
gen_0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len2_0 :: Nat → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len

Generator Equations:
gen_0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
len, activate

They will be analysed ascendingly in the following order:
activate = len

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol len.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
fst(0', Z) → nil
fst(s(X), cons(Z)) → cons(n__fst(activate(X), activate(Z)))
from(X) → cons(n__from(n__s(X)))
add(0', X) → X
add(s(X), Y) → s(n__add(activate(X), Y))
len(nil) → 0'
len(cons(Z)) → s(n__len(activate(Z)))
fst(X1, X2) → n__fst(X1, X2)
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
add(X1, X2) → n__add(X1, X2)
len(X) → n__len(X)
activate(n__fst(X1, X2)) → fst(activate(X1), activate(X2))
activate(n__from(X)) → from(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__add(X1, X2)) → add(activate(X1), activate(X2))
activate(n__len(X)) → len(activate(X))
activate(X) → X

Types:
fst :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
0' :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
nil :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
s :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
cons :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__fst :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
activate :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
from :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__from :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__s :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
add :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__add :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
len :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__len :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
hole_0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len1_0 :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
gen_0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len2_0 :: Nat → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len

Generator Equations:
gen_0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
activate

They will be analysed ascendingly in the following order:
activate = len

(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol activate.

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
fst(0', Z) → nil
fst(s(X), cons(Z)) → cons(n__fst(activate(X), activate(Z)))
from(X) → cons(n__from(n__s(X)))
add(0', X) → X
add(s(X), Y) → s(n__add(activate(X), Y))
len(nil) → 0'
len(cons(Z)) → s(n__len(activate(Z)))
fst(X1, X2) → n__fst(X1, X2)
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
add(X1, X2) → n__add(X1, X2)
len(X) → n__len(X)
activate(n__fst(X1, X2)) → fst(activate(X1), activate(X2))
activate(n__from(X)) → from(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__add(X1, X2)) → add(activate(X1), activate(X2))
activate(n__len(X)) → len(activate(X))
activate(X) → X

Types:
fst :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
0' :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
nil :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
s :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
cons :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__fst :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
activate :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
from :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__from :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__s :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
add :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__add :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
len :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
n__len :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
hole_0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len1_0 :: 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len
gen_0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len2_0 :: Nat → 0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len

Generator Equations:
gen_0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':nil:cons:n__fst:n__s:n__from:n__add:n__len2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.